Constante de Bruijn-Newman

La constante de Bruijn-Newman, denotada por ${\displaystyle \Lambda }$ y nombrada así por Nicolaas Govert de Bruijn y Charles M. Newman, es una constante matemática definida a través de los ceros de cierta función ${\displaystyle H:\mathbb {R} \times \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ , donde consideramos a ${\displaystyle \lambda }$ como la variable real y a ${\displaystyle z}$ como la variable compleja . Específicamente se define

${\displaystyle H(\lambda ,z):=\int _{0}^{\infty }e^{\lambda u^{2}}\Phi (u)\cos(zu)du}$ ,

dónde ${\displaystyle \Phi :\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ es

${\displaystyle \Phi (u)=\sum _{n=1}^{\infty }(2\pi ^{2}n^{4}e^{9u}-3\pi n^{2}e^{5u})e^{-\pi n^{2}e^{4u}}}$

la cual decae super -exponencialmente. Y de esta forma definimos ${\displaystyle \Lambda }$ como el único número real con la propiedad de que ${\displaystyle H(\lambda ,\cdot )}$ tiene solamente ceros reales si y solo si ${\displaystyle \lambda \geq \Lambda }$.

La constante ${\displaystyle \Lambda }$ está estrechamente relacionada con la hipótesis de Riemann sobre los ceros de la función zeta de Riemann: dado que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que todos los ceros de ${\displaystyle H(0,\cdot )}$ son reales, la hipótesis de Riemann es equivalente a la conjetura de que ${\displaystyle \Lambda }$.^[1]​ Brad Rodgers y Terence Tao demostraron que ${\displaystyle \Lambda <0}$ no puede ser cierto, por lo que la hipótesis de Riemann es equivalente a ${\displaystyle \Lambda =0}$ .^[2]​ Posteriormente, Alexander Dobner proporcionó una prueba simplificada del resultado de Rodgers-Tao.

Historia

De Bruijn demostró en 1950 que ${\displaystyle H(\lambda ,\cdot )}$ solo tiene ceros reales si ${\displaystyle \lambda \geq {\frac {1}{2}}}$ , y además, que si ${\displaystyle H(\lambda ,\cdot )}$ tiene solo ceros reales para algún ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle H(\lambda ,\cdot )}$ también tiene solo ceros reales si ${\displaystyle \lambda }$ se reemplaza por cualquier valor mayor.^[3]​ Newman demostró en 1976 la existencia de una constante ${\displaystyle \Lambda }$ para la cual se cumple la afirmación "si y solo si"; y esto implica entonces que ${\displaystyle \Lambda }$ es único. Newman también conjeturó que ${\displaystyle \Lambda \geq 0}$.^[4]​

Cotas Superiores

El límite superior de De Bruijn de ${\displaystyle \Lambda \leq 1/2}$ no mejoró hasta 2008, cuando Ki, Kim y Lee demostraron ${\displaystyle \Lambda <1/2}$, haciendo estricta la desigualdad .^[5]​

En diciembre de 2018, el proyecto 15th Polymath mejoró el límite a ${\displaystyle \Lambda \leq 0,22}$ .^[6]​^[7]​^[8]​ Se envió un manuscrito del trabajo de Polymath a arXiv a fines de abril de 2019, y se publicó en la revista Research In the Mathematical Sciences en agosto de 2019.^[9]​

Este límite fue mejorado ligeramente en abril de 2020 por Platt y Trudgian para ${\displaystyle \Lambda \leq 0.2}$ .^[10]​

Cotas inferiores a través del tiempo

Referencias

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «de Bruijn–Newman Constant». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

1. Nicolaas Govert de Bruijn
2. Química analítica
3. Hipótesis de Riemann