Cociente de Fermat

En teoría de números, el cociente de Fermat ${\displaystyle q_{p}}$ de un número entero a con respecto a un número primo impar p se define como^[1]​^[2]​^[3]​^[4]​

${\displaystyle q_{p}(a)={\frac {a^{p-1}-1}{p}},}$

o también

${\displaystyle \delta _{p}(a)={\frac {a-a^{p}}{p}}}$.

Este artículo trata sobre la primera definición; para la segunda véase p-derivación. El cociente lleva el nombre del matemático francés Pierre de Fermat (1601-1665).

Si la base a es coprima respecto al exponente p entonces el pequeño teorema de Fermat afirma que q_p(a) será un número entero. Si la base a también es generadora del grupo multiplicativo de enteros módulo p, entonces q_p(a) será un número cíclico y p será un número primo largo.

Propiedades

A partir de la definición, es obvio que

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{p}(1)&\equiv 0&&{\pmod {p}}\\q_{p}(-a)&\equiv q_{p}(a)&&{\pmod {p}}\quad ({\text{since }}2\mid p-1)\end{aligned}}}$

En 1850, Ferdinand Eisenstein demostró que si a y b son coprimos con respecto a p, entonces:^[5]​

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{p}(ab)&\equiv q_{p}(a)+q_{p}(b)&&{\pmod {p}}\\q_{p}(a^{r})&\equiv rq_{p}(a)&&{\pmod {p}}\\q_{p}(p\mp a)&\equiv q_{p}(a)\pm {\tfrac {1}{a}}&&{\pmod {p}}\\q_{p}(p\mp 1)&\equiv \pm 1&&{\pmod {p}}\end{aligned}}}$

Eisenstein comparó las dos primeras de estas congruencias con las propiedades de los logaritmos. Estas propiedades implican que

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{p}\!\left({\tfrac {1}{a}}\right)&\equiv -q_{p}(a)&&{\pmod {p}}\\q_{p}\!\left({\tfrac {a}{b}}\right)&\equiv q_{p}(a)-q_{p}(b)&&{\pmod {p}}\end{aligned}}}$

En 1895, Dmitry Mirimanoff señaló que una iteración de las reglas de Eisenstein permite obtener el corolario siguiente:^[6]​

${\displaystyle q_{p}(a+np)\equiv q_{p}(a)-n\cdot {\tfrac {1}{a}}{\pmod {p}}.}$

De esto se sigue que:^[7]​

${\displaystyle q_{p}(a+np^{2})\equiv q_{p}(a){\pmod {p}}.}$

Fórmula de Lerch

M. Lerch demostró en 1905 que^[8]​^[9]​^[10]​

${\displaystyle \sum _{j=1}^{p-1}q_{p}(j)\equiv W_{p}{\pmod {p}}.}$

Aquí ${\displaystyle W_{p}}$ es el cociente de Wilson.

Valores especiales

Eisenstein descubrió que el cociente de Fermat con base 2 podía expresarse en términos de la suma de los recíprocos módulo p de los números que se encuentran en la primera mitad del rango {1, ..., p − 1} :

${\displaystyle -2q_{p}(2)\equiv \sum _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}$

Autores posteriores demostraron que el número de términos requeridos en tal representación podría reducirse de 1/2 a 1/4, 1/5 o incluso 1/6:

${\displaystyle -3q_{p}(2)\equiv \sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{4}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}$^[11]​

${\displaystyle 4q_{p}(2)\equiv \sum _{k=\lfloor {\frac {p}{10}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {2p}{10}}\rfloor }{\frac {1}{k}}+\sum _{k=\lfloor {\frac {3p}{10}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {4p}{10}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}$^[12]​

${\displaystyle 2q_{p}(2)\equiv \sum _{k=\lfloor {\frac {p}{6}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {p}{3}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}$^[13]​^[14]​

La serie de Eisenstein también tiene una conexión cada vez más compleja con los cocientes de Fermat con otras bases, siendo los primeros ejemplos:

${\displaystyle -3q_{p}(3)\equiv 2\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{3}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}$^[15]​

${\displaystyle -5q_{p}(5)\equiv 4\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{5}}\rfloor }{\frac {1}{k}}+2\sum _{k=\lfloor {\frac {p}{5}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {2p}{5}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}$^[16]​

Primos de Wieferich generalizados

Si q_p(a) ≡ 0 (mod p) entonces a^p−1 ≡ 1 (mod p²). Los números primos para los que esto es cierto cuando a = 2 se denominan primos de Wieferich. En general, se denominan primos de Wieferich en base a. Las soluciones conocidas de q_p(a) ≡ 0 (mod p) para valores pequeños de a son :^[2]​

Para obtener más información, consúltese fermatquotient.com (^[17]​^[18]​^[19]​ y^[20]​).

Las soluciones más pequeñas de q_p(a) ≡ 0 (mod p) con a= n son:

2, 1093, 11, 1093, 2, 66161, 5, 3, 2, 3, 71, 2693, 2, 29, 29131, 1093, 2, 5, 3, 281, 2, 13, 13, 5, 2, 3, 11, 3, 2, 7, 7, 5, 2, 46145917691, 3, 66161, 2, 17, 8039, 11, 2, 23, 5, 3, 2, 3, ... (sucesión A039951 en OEIS)

Un par (p, r) de números primos tales que q_p(r) ≡ 0 (mod p) y q' 'r(p) ≡ 0 (mod r) se llama par de Wieferich.

Referencias

Enlaces externos

• Gottfried Helms. Fermat-/Euler-quotients (a^p-1 – 1)/p^k with arbitrary k.
• Richard Fischer. Fermat quotients B^(P-1)== 1 (mod P^2).