Criteriul raportului (D'Alembert)

În matematică, criteriul raportului (D'Alembert) se aplică pentru determinarea naturii seriei infinite

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

ai cărei termeni sunt numere reale sau complexe. Testul a fost prima dată publicat de Jean le Rond d'Alembert, de aceea mai este numit și criteriul lui D'Alembert. Criteriul raportului folosește numărul

${\displaystyle L=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$

Criteriul raportului spune că:

• Dacă L < 1 atunci seria este absolut convergentă.
• Dacă L > 1 atunci seria este divergentă.
• Daca L = 1 sau L este nedeterminat atunci natura seriei este nederminată.

Criteriul Raabe-Duhamel

Dacă L = 1 criteriul raportului nu poate dermina natura seriei studiate. O extindere a criteriului raportului este criteriul Raabe-Duhamel care permite uneori determinarea naturii seriei pentru cazul L = 1.

Criteriul Raabe-Duhamel spune că dacă pentru o serie

I

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1}$

și dacă există:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\,n\left(\,\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)=l}$

atunci seria este:.

1. Dacă l>1 ${\displaystyle \Rrightarrow }$ :${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ - Convergentă

2. Dacă l<1 ${\displaystyle \Rrightarrow }$ :${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ - Divergentă

1. Dacă l=1 ${\displaystyle \Rrightarrow }$ :${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ - Problema nu se poate rezolva cu acest criteriu

link suport.

http://www.mathcounterexamples.net/raabe-duhamel-s-test/