Kvadratinė lygtis

Matematikoje kvadratinė lygtis – antrojo laipsnio daugianarė lygtis, jos išraiška:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\!}$

Čia a, b, c – realieji skaičiai, ${\displaystyle a\neq 0\,\!.}$ Skaičius a vadinamas pirmuoju koeficientu, b - antruoju koeficientu ir skaičius c - laisvuoju nariu.

Kvadratinės lygtys būna pilnosios (nesuprastintos arba suprastintos) ir nepilnosios. Kai a = 1, turima lygtis ${\displaystyle x^{2}+bx+c}$ dažnai vadinama redukuotaja kvadratine lygtimi.

Pilnoji kvadratinė lygtis

Bendra forma:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$, kai ${\displaystyle a\neq 0\,\!,}$ ${\displaystyle b\neq 0\,\!,}$ ${\displaystyle c\neq 0\,\!.}$

Sprendimas:

randame pagalbinį skaičių – diskriminantą D:

${\displaystyle D=b^{2}-4ac\,}$

Tada galimi trys atvejai:

• Jei ${\displaystyle D>0\,\!}$ tai lygtis turi du skirtingus sprendinius:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}\\\end{aligned}}}$

• Jei ${\displaystyle D=0\,\!}$, tai lygtis turi vieną sprendinį:

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}.\,\!}$

Pastaba: kartais sakoma, kad tokiu atveju lygtis turi du sutampančius sprendinius. Toks požiūris taikomas, pavyzdžiui, sprendžiant diferencialines lygtis.

Įrodymas :

${\displaystyle {\begin{aligned}&a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,\,\,\,/\cdot \,4a\\&4{{a}^{2}}{{x}^{2}}+4axb+4ac=0\\&\underbrace {4{{a}^{2}}{{x}^{2}}+4axb+{{b}^{2}}} _{}-{{b}^{2}}+4ac=0\\&{{\left(2ax+b\right)}^{2}}={{b}^{2}}-4ac\\&2ax+b=\pm {\sqrt {{{b}^{2}}-4ac}}\\&{{x}_{1,2}}={\frac {-b\pm {\sqrt {{{b}^{2}}-4ac}}}{2a}}\\\end{aligned}}}$

• Jei ${\displaystyle D<0\,\!}$, tai lygtis neturi sprendinių realiųjų skaičių aibėje. Tokios lygties sprendiniai yra du kompleksiniai skaičiai:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {-b}{2a}}\pm i{\frac {\sqrt {|D|}}{2a}}\end{aligned}}}$

kur ${\displaystyle {\begin{aligned}i\end{aligned}}}$ yra menamasis vienetas

Kvadratines lygtis taip pat galima spręsti panaudojant Vijeto teoremą. Pagal ją, lygties sprendiniai gali būti randami iš lygčių sistemos ${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}\\x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}\end{cases}}}$

Vijeto teoremą patogiausia naudoti, kai a=1.

Radus sprendinius, galioja lygybė:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})\,}$

Nepilnoji kvadratinė lygtis

Nepilnoji kvadratinė lygtis yra tokia kvadratinė lygtis, kurios bent vienas iš koeficientų b ir c yra lygus 0. Bendra forma:

${\displaystyle ax^{2}=b\,}$

Sprendimas:

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}&={\frac {b}{a}}\\x_{1,2}&=\pm {\sqrt {\frac {b}{a}}}\end{aligned}}}$

Kvadratinė lygtis, kurios ${\textstyle {c=0}}$

Bendra forma:

${\displaystyle ax^{2}+bx=0\,}$

Sprendimas:

iškeliame x prieš skliaustus:

${\displaystyle x(ax+b)=0\,}$

Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad

${\displaystyle {\begin{aligned}x=0\qquad \operatorname {arba} \qquad ax&=-b\\x&=-{\frac {b}{a}}\end{aligned}}}$

Bikvadratinė lygtis

Su kvadratine lygtimi susijusi yra bikvadratinė lygtis ${\displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0}$, kuri paverčiama kvadratine lygtimi ${\displaystyle y^{2}+by+c}$ pritaikius keitinį ${\displaystyle x^{2}=y}$. Išsprendus lygtį, gaunamos y reikšmės, o iš jų apskaičiuojamos atitinkamos x reikšmės. Jeigu ${\displaystyle y_{1}>0}$ ir ${\displaystyle y_{2}>0}$ bikvadratinė lygtis turi 4 sprendinius, jeigu viena iš y reikšmių yra neigiama, lygtis turi 2 sprendinius, kitu atveju lygtis sprendinių neturi.

Taip pat skaitykite

• Kvadratinė funkcija
• Vijeto teorema

Šaltiniai