すべての素数階乗 (最小のi個の素数の積)はプラクティカル数である。1つめの素数階乗の2と2つめの素数階乗の6はプラクティカル数である。それ以降の素数階乗は素数 pi と素数階乗の積であり、つまり2と次の最小の素数でpi-1で割り切れる。ベルトランの仮説により、pi<2pi-1が成り立つので、次の素因数は前の素数階乗の約数よりも小さい。同様に、すべての素数階乗はプラクティカル数である性質を満たし、平方因子も含まない。
素数階乗を一般化し、最小の k 個の素数の累乗の積もプラクティカル数である。これはシュリニヴァーサ・ラマヌジャンの高度合成数(自然数のうち、それ未満のどの自然数よりも約数が多いもの)や階乗も含む。
プラクティカル数とエジプト式分数
n がプラクティカル数であれば、任意の有理数 m/n (m < n) は nの異なる約数を di としたときに、 ∑di/n で表せる。それぞれの項は単位分数に約分できるため、 m/n はエジプト式分数で表せる。例えば、
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外部リンク
Tables of practical numbers compiled by Giuseppe Melfi.
Practical Number - PlanetMath.(英語)
Weisstein, Eric W. "Practical Number". mathworld.wolfram.com (英語).