Aleatoriedad estadística

Una secuencia numérica se dice que es aleatoriedad estadística cuando no contiene patrones reconocibles o regularidades; secuencias como el resultado de una tirada de dados.^[1]​ Existen diversas definiciones que tratan de formalizar la noción intuitiva anterior.

La aleatoriedad estadística no implica necesariamente aleatoriedad "verdadera". La secuencia pseudoaleatoria es suficiente para muchos usos.

Definiciones formales

Reales aleatorios

Un número real ${\displaystyle 0<r=0.r_{1}r_{2}r_{3}r_{4}\dots <1}$ es b-normal (aleatorio en base b) si escrita como expresión numérica:

${\displaystyle r=r_{1}b^{-1}+r_{2}b^{-2}+\dots =\sum _{k=1}^{\infty }r_{k}b^{-k},\qquad r_{k}\in \{0,1,\dots ,b-1\}}$

Si todas las secuencias de k dígitos que aparecen en la secuencia ${\displaystyle r_{m+1}r_{m+2}\dots r_{m+k}}$ tienen la misma probabilidad ${\displaystyle p_{k}=1/b^{k}}$. En los años 1920, Émile Borel conjeturó que la mayor parte de números reales eran aleatorios (concretamente que un número real escogido al azar es con probabilidad 1). Igualmente, la computación de números trascendentes como ${\displaystyle \pi }$ o ${\displaystyle e}$ sugieren que sus desarrollos decimales parecen b-normales (ver números de Stoneham). Sin embargo, demostrar formalmente que un número real es realmente b-normal se ha revelado auténticamente difícil. Sólo en 1973, Richard Stoneham demostró formalmente que algunos números reales son b-normales.^[2]​

La siguiente tabla muestra la aparente 10-normalidad de las cifras de ${\displaystyle \pi }$:

Compresibilidad algorítmica

La complejidad de Kolmogórov puede pensarse como una cota inferior de la compresibilidad algorítmica de una secuencia finita (de caracteres o dígitos binarios). Asigna a cada secuencia de ese tipo W un número natural K(w) que, intuitivamente, mide la mínima longitud de un programa informático (escrito en cierto lenguaje de programación fijo y preestablecido) que tiene input vacío y tiene como output la secuencia W cuando es ejecutado. Dado un número natural c y una secuencia w, decimos que w es c-incompresible si ${\displaystyle K(w)\geq |w|-c}$.

Una sucesión infinita S es aleatoria en el sentido de Martin-Löf si y sólo si existe una constante c tal que todas los prefijos finitos de S's son c-incompresibles.

Por ejemplo, se conjetura que el número ${\displaystyle \pi }$ es b-normal, sin embargo, es algorítmicamente compresible ya que es un número calculable mediante un procedimiento finito bien definido.

Referencias

Bibliografía

• F.J. Aragón Artacho, D.H. Bailey, J.M. Borwein, P.B. Borwein: "Walking on real numbers", The Mathematical Intelligencer, 35 (2013), no. 1, 42–60.