Grupo puntual

En geometría y cristalografía, un grupo puntual es un grupo de simetrías geométricas (grupo de isometría) que mantiene constante por lo menos un punto fijo. Los grupos puntuales pueden existir en un espacio euclidiano de cualquier otra dimensión, y cada grupo puntual en la dimensión d es un subgrupo del grupo ortogonal O(d). Los grupos puntuales pueden ser considerados como un conjunto de matrices ortogonales M que transforman un punto x en un punto y:

y= M.x

donde el origen es el punto fijo. Los elementos de los grupos puntuales pueden ser: rotaciones (determinante de M= 1) rotaciones impropias, reflexiones, rotaciones-reflexiones, o rotoreflexiones (determinante de M= -1). Todos los grupos puntuales de las rotaciones de dimensión d son subgrupos del grupo ortogonal especial SO(d).

Los grupos puntuales discretos en más de una dimensión se agrupan en familias infinitas, pero por el teorema de restricción cristalográfica y por uno de los teoremas de Bieberbach, cada número de dimensiones solo tiene un número finito de grupos puntuales que son simétricos respecto de una red o retícula con ese número de dimensiones. Estos son los grupos puntuales cristalográficos.

Una dimensión

Solo hay dos grupos puntuales unidimensionales, el grupo identidad y el grupo reflexión.

Dos dimensiones

Los grupos puntuales planos son a veces llamados grupos de roseta.

Se agrupan en dos familias infinitas:

1. Grupos cíclicos C_n o grupos de rotación de orden n
2. Grupos diedral D_n de rotación de orden n y grupos de reflexión.

Aplicando el teorema de restricción cristalográfica n queda limitado a los valores 1, 2, 3, 4 y 6 para ambas familias, produciendo 10 grupos.

El subconjunto de grupos puntuales de reflexión pura, se define por uno o dos ejes de simetría, también se puede dar por su grupo de Coxeter y polígonos relacionados. Estos incluyen cinco grupos cristalográficos.

Tres dimensiones

Los grupos puntuales tridimensionales son a veces llamados grupos puntuales moleculares por su amplio uso en el estudio de las simetrías de las moléculas pequeñas.

Se agrupan en siete familias infinitas de grupos axiales o prismáticos, y 7 grupos poliédricos adicionales o grupos platónicos. En notación de Schönflies,

• Los grupos axiales: C_n, S_2n, C_nh, C_nv, D_n, D_nd, D_nh
• Grupos poliédricos: T, T_d, T_h, O, O_h, I, I_h

Aplicando el teorema de restricción cristalográfica a estos grupos se obtienen los 32 grupos puntuales cristalográficos.

El subconjunto de grupos puntuales de reflexión pura, definido por 1 a 3 planos de simetría, también se puede dar por su grupo de Coxeter y poliedros relacionados. El grupo [3,3] se puede doblar, notándose como [[3,3]], haciendo coincidir los ejes primero y último uno sobre el otro, duplicando la simetría a orden 48, y resultando isomorfo con el grupo [4,3].

Véase también

• Grupos puntuales bidimensionales
• Grupos puntuales tridimensionales
• Cristalografía
• Grupo puntual cristalográfico
• Simetría molecular
• Grupo espacial
• Difracción de rayos X
• Red de Bravais

Notas

Referencias

• Los grupos puntuales. En: Teoría de grupos aplicada para químicos, físicos e ingenieros. Allen Nussbaum. Editorial Reverté, 1975. ISBN 842914109X.
• H.S.M. Coxeter: Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
  • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
• H.S.M. Coxeter and W. O. J. Moser. Generators and Relations for Discrete Groups 4th ed, Springer-Verlag. New York. 1980
• N.W. Johnson: Geometries and Transformations, Manuscript, (2011) Chapter 11: Finite symmetry groups

Enlaces externos

• Tutorial sobre grupos puntuales (necesita Java y Flash)
• Lista de subgrupos (necesita Java)
• The Geometry Center: 2.1 Formulas for Symmetries in Cartesian Coordinates (two dimensions)
• The Geometry Center: 10.1 Formulas for Symmetries in Cartesian Coordinates (three dimensions)