Skaitļa kvadrāts

Skaitļa kvadrāts ir skaitlis, kas ir kāda vesela skaitļa reizinājums ar sevi. Piemēram, 9 ir skaitlis kvadrātā, jo tas ir vienāds ar 3² un to var rakstīt kā 3 × 3.

Skaitļus kvadrātā n skaitlim pieraksta kā n × n vai biežāk sastopamo, kāpināto n². Nosaukums kvadrāts nāk no figūras nosaukuma, jo kvadrāta laukums ir skaitlis reizināts ar sevi, jeb kvadrātam ar sānu garumu n ir laukums n².

Kvadrātveida skaitļi ir nenegatīvi . Tas ir, skaitlis kvadrātā vienmēr būs lielāks vai vienāds ar 0. Skaitļus sauc par skaitļiem kvadrātā, ja tos ievietojot kvadrātsaknē rodās vesels skaitlis. Piemēram, ${\displaystyle {\sqrt {9}}=3,}$ tādēļ 9 ir skaitlis kvadrātā.

Nenegatīva skaitļa n, n-tais kvadrāts ir n². Ja tiek rēķnāts ar racionāliem skaitļiem, tad to kvadrāts ir divu kvadrātu veselu skaitļu attiecība, piemēram, kvadrāts, ${\displaystyle \textstyle {\frac {4}{9}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}}$ .

Piemēri

Kvadrāti, kas ir mazāki par 60 ² = 3600:

Formulas

Atstarpe starp blakus esošiem skaitļu kvadrātiem ir:

n² − (n − 1)² = 2n − 1, kur n ir lielākais skaitlis.

Tāpat ir iespējams iegūt skaitļa kvadrātu saskaitot kopā pēdējā skaitļa kvadrātu ar pēdējo skaitli pašreizējo skaitli:

n² = (n − 1)² + (n − 1) + n .

Īpašības

Skaitlis m ir skaitlis kvadrātā tikai tad, ja m punktus var salikt kvadrātā.

Skaitļu kvadrāts ir vienāds ar pirmo n nepāra skaitļu summu. Formula ir šāda:

${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).}$

Piemēram, 5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 .

Skaitļa kvadrāts - 1 vienmēr ir reizinājums ${\displaystyle {\sqrt {m}}-1}$ un ${\displaystyle {\sqrt {m}}+1}$ (piemēram, 8 × 6 ir 48, bet 7 ² ir 49). Izņēmums 3, kurš ir vienīgais pirmskaitlis, kas ir par vienu mazākas kā kvadrāts.

Decimālajā skaitīšanas sistēmā, skaitļa kvadrāts var beigties tikai ar cipariem 0, 1, 4, 5, 6 vai 9 šādi:

• ja skaitļa pēdējais cipars ir 0, tā kvadrāts beigsies ar 0 (pēdējie divi cipari būs 00);
• ja skaitļa pēdējais cipars ir 1 vai 9, tā kvadrāts beigisies ar 1;
• ja skaitļa pēdējais cipars ir 2 vai 8, tā kvadrāts beigsies ar 4;
• ja skaitļa pēdējais cipars ir 3 vai 7, tā kvadrāts beigsies ar 9;
• ja skaitļa pēdējais cipars ir 4 vai 6, tā kvadrāts beigsies ar 6;
• ja skaitļa pēdējais cipars ir 5, tā kvadrāts beidzas ar 5 (pēdējie divi cipari būs 25).

Summas formula pirmajiem n kvadrātiem:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}n^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +N^{2}={\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}.}$

1. Kvadrāts (nozīmju atdalīšana)
2. Imaginārs skaitlis
3. 9814072356
4. 7744 (skaitlis)
5. Imaginārā vienība
6. 9 (skaitlis)
7. Komplekss skaitlis
8. 31 (skaitlis)
9. 81 (skaitlis)
10. 15 (skaitlis)
11. Kvadrātsakne
12. Pierādījums no pretējā
13. Orbitāle
14. 14 (skaitlis)
15. 100000000 (skaitlis)
16. Kubs
17. 16 (skaitlis)
18. 4 (skaitlis)
19. Fibonači skaitļi
20. Sakrālā ģeometrija