初等函数 （基本函數）是由常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、乘方、开方）及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个方程式表示的函数。
一般来说，分段函数不是初等函数，因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示。
初等函数的全体对算术运算、复合和微分（求导）是封闭的，但对求极限、无穷级数以及积分不封闭。只有刘维尔函数
此外，部分初等函数不是整函数，或者在复数域上是多值函数。
名称来源 之所以称这些函数为“初等函数”或“基本函数”（法语：fonction élémentaire ），需要从微分代数的角度考虑。尽管“初等函数”这个概念最初是由约瑟夫·刘维尔引入的，但目前的通行定义是由约瑟夫·里特给出的：
一个微分域
F
{\displaystyle F}
F
0
{\displaystyle F_{0}}
u
→
f
(
u
)
{\displaystyle u\rightarrow f(u)}
f
(
u
)
{\displaystyle f(u)}
f
(
u
+
v
)
=
f
(
u
)
+
f
(
v
)
{\displaystyle f(u+v)=f(u)+f(v)}
f
(
u
v
)
=
u
f
(
v
)
+
v
f
(
u
)
{\displaystyle f(uv)=uf(v)+vf(u)}
C
{\displaystyle C}
f
(
C
)
=
0
{\displaystyle f(C)=0}
在以上定义满足时，一个函数
u
{\displaystyle u}
F
{\displaystyle F}
初等函数 ，当且仅当该函数至少满足以下三者之一：
是
F
{\displaystyle F}
是
F
{\displaystyle F}
f
(
u
)
=
u
f
(
a
)
,
a
∈
F
{\displaystyle f(u)=uf(a),a\in F}
是
F
{\displaystyle F}
f
(
u
)
=
f
(
a
)
a
,
a
∈
F
{\displaystyle f(u)={\frac {f(a)}{a}},a\in F}
常函数 称
f
(
x
)
=
C
{\displaystyle f(x)=C}
C 为常数，它的定义域为
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,\infty )}
幂函数 称形如
f
(
x
)
=
C
x
r
{\displaystyle f(x)=Cx^{r}}
C , r 为常数。幂函数的定义域与r 的值有关，但是不管r 取何值，该函数在
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle (0,+\infty )}
指数函数 称形如
f
(
x
)
=
a
x
{\displaystyle f(x)=a^{x}}
a 是常数，
a
>
0
{\displaystyle a>0}
a
≠
1
{\displaystyle a\neq 1}
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle (0,+\infty )}
对数函数 称形如
y
=
log
a
x
{\displaystyle y=\log _{a}x\!}
a
>
0
{\displaystyle a>0}
a
≠
1
{\displaystyle a\neq 1}
y
=
a
x
{\displaystyle y=a^{x}}
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle (0,+\infty )}
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
三角函数 正弦函数 称形如
f
(
x
)
=
sin
x
{\displaystyle f(x)=\sin x}
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
余弦函数 称形如
f
(
x
)
=
cos
x
{\displaystyle f(x)=\cos x}
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
正切函数 称形如
f
(
x
)
=
tan
x
{\displaystyle f(x)=\tan x}
{
x
|
x
≠
k
π
+
π
2
,
k
∈
Z
}
{\displaystyle \{x|x\neq k\pi +{\frac {\pi }{2}},\,k\in \mathbb {Z} \}}
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
π
{\displaystyle \pi }
余切函数 称形如
f
(
x
)
=
cot
x
{\displaystyle f(x)=\cot x}
{
x
|
x
≠
k
π
,
k
∈
Z
}
{\displaystyle \{x|x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \}}
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
π
{\displaystyle \pi }
正割函数 称形如
f
(
x
)
=
sec
x
{\displaystyle f(x)=\sec x}
{
x
|
x
≠
k
π
+
π
2
,
k
∈
Z
}
{\displaystyle \{x|x\neq k\pi +{\frac {\pi }{2}},\,k\in \mathbb {Z} \}}
(
−
∞
,
−
1
]
∪
[
1
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
余割函数 称形如
f
(
x
)
=
csc
x
{\displaystyle f(x)=\csc x}
{
x
|
x
≠
k
π
,
k
∈
Z
}
{\displaystyle \{x|x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \}}
(
−
∞
,
−
1
]
∪
[
1
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
反三角函数 其它常见初等函数 双曲函数 双曲正弦函数：
y
=
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle y=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
y
=
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle y=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
y
=
tanh
x
=
sinh
x
cosh
x
=
e
x
−
e
−
x
e
x
+
e
−
x
{\displaystyle y=\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}
反双曲函数 反双曲正弦函数：
y
=
arsinh
x
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
{\displaystyle y=\operatorname {arsinh} \,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})}
y
=
arcosh
x
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
{\displaystyle y=\operatorname {arcosh} \,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}
扩展阅读 Davenport, J. H.: What Might "Understand a Function" Mean. In: Kauers, M.; Kerber, M., Miner, R.; Windsteiger, W.: Towards Mechanized Mathematical Assistants. Springer, Berlin/Heidelberg 2007, p. 55-65. [1]（页面存档备份，存于互联网档案馆） 外部链接 Elementary functions at Encyclopaedia of Mathematics（页面存档备份，存于互联网档案馆）埃里克·韦斯坦因. 初等函数. MathWorld. . Source:
