Problema de Stefan

En matemáticas, un Problema de Stefan es un tipo específico de problema de condición de contorno para una ecuación en derivadas parciales, adaptado al caso en que la frontera de cambio de fase se desplaza en el tiempo. Este tipo de problema es particularmente importante en el campo de las transiciones de fase en la materia. Debe su nombre a Josef Stefan, el físico esloveno que descubrió el tipo genérico de estos problemas hacia 1890, al estudiar problemas de formación de hielo. El tema había sido considerado previamente en 1831, por Lamé y Clapeyron.

Los problemas de Stefan son ejemplos de problemas con condiciones de contorno libre para ecuaciones parabólicas. La condición de Stefan es la expresión en función de la variación de temperatura de la conservación de la energía, en el punto del cambio de fase.

Formulación matemática

El problema de Stefan unidimensional de una fase

Sea un bloque de hielo semi-infinito unidimensional inicialmente a la temperatura de fusión u ≡ 0 para x ∈ [0, +∞). Un flujo de calor f(t) es provisto en la frontera izquierda del dominio lo que produce el derretimiento del bloque resultando un segmento [0, s(t)] de agua líquida. La longitud de la zona derretida de hielo del bloque, expresada como s(t), es una función desconocida del tiempo; la solución del problema de Stefan es encontrar u y s tales que

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial t}}&={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}&&{\text{en }}\{(x,t):0<x<s(t),t>0\},&&{\text{la ecuación del calor}},\\-{\frac {\partial u}{\partial x}}(0,t)&=f(t),&&t>0,&&{\text{la condición de Neumann en el extremo izquierdo del dominio que describe el flujo de calor aplicado}},&&\\u{\big (}s(t),t{\big )}&=0,&&t>0,&&{\text{la condición de Dirichlet en la interfase líquido-hielo: fijando la temperatura de fusión/congelamiento}},\\{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}&=-{\frac {\partial u}{\partial x}}{\big (}s(t),t{\big )},&&t>0,&&{\text{la condición de Stefan}},\\u(x,0)&=0,&&x\geq 0,&&{\text{distribución inicial de temperatura}},\\s(0)&=0,&&&&{\text{longitud de la zona inicial de hielo derretido}}.\end{aligned}}}$

Referencias

Referencias históricas

• Vuik, C. (1993), «Some historical notes about the Stefan problem», Nieuw Archief voor Wiskunde, 4e serie 11 (2): 157-167, MR 1239620, Zbl 0801.35002 .. Un trabajo interesante de los comienzos de la teoría es una versión de un borrador (en formato PDF) que se puede consultar en [1].

Referencias científicas y generales

• Cannon, John Rozier (1984), The One-Dimensional Heat Equation, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 23 (1st edición), Reading–Menlo Park–London–Don Mills–Sídney–Tokyo/ Cambridge–New York–New Rochelle–Melbourne–Sídney: Addison-Wesley Publishing Company/Cambridge University Press, pp. XXV+483, ISBN 978-0-521-30243-2, MR 0747979, Zbl 0567.35001 .. Contiene una extensa bibliografía, consistente en 460 trabajos que tratan sobre el problema de Stefan y otros problemas de condiciones de contorno libres, actualizada a 1982.
• Kirsch, Andreas (1996), Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, Applied Mathematical Sciences series 120, Berlin–Heidelberg–New York: Springer Verlag, pp. x+282, ISBN 0-387-94530-X, MR 1479408, Zbl 0865.35004 .
• Meirmanov, Anvarbek M. (1992), The Stefan Problem, De Gruyter Expositions in Mathematics 3, Berlin – New York: Walter de Gruyter, pp. x+245, ISBN 3-11-011479-8, MR 1154310, Zbl 0751.35052, doi:10.1515/9783110846720 ..  – via De Gruyter (requiere suscripción) Una importante monografía de uno de los principales autores en este campo, describiendo su demostración de la existencia de una solución clásica para el problema de Stefan multidimensional y analizando su desarrollo histórico.
• Oleinik, O. A. (1960), «A method of solution of the general Stefan problem», Doklady Akademii Nauk SSSR (en ruso) 135: 1050-1057, MR 0125341, Zbl 0131.09202 .. El trabajo contiene la demostración de Olga Oleinik de la existencia y unicidad de una solución generalizada para el problema de Stefan tridimensional, basada en investigaciones de su alumno S.L. Kamenomostskaya.
• Kamenomostskaya, S. L. (1958), «On Stefan Problem», Nauchnye Doklady Vysshey Shkoly, Fiziko-Matematicheskie Nauki (en ruso) 1 (1): 60-62, Zbl 0143.13901 ..
• Kamenomostskaya, S. L. (1961), «On Stefan's problem», Matematicheskii Sbornik (en ruso), 53(95) (4): 489-514, MR 0141895, Zbl 0102.09301 .. .
• Rubinstein, L. I. (1971), The Stefan Problem, Translations of Mathematical Monographs 27, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. viii+419, ISBN 0-8218-1577-6, MR 0351348, Zbl 0219.35043 .. Una referencia amplia, obra de uno de los principales autores de la teoría, actualizado a 1962–1963 y con una bibliografía de 201 trabajos.
• Tarzia, Domingo Alberto (julio de 2000), «A Bibliography on Moving-Free Boundary Problems for the Heat-Diffusion Equation. The Stefan and Related Problems», MAT, Series A: Conferencias, seminarios y trabajos de matemática. 2: 1-297, ISSN 1515-4904, MR 1802028, Zbl 0963.35207 .. Una impresionante bibliografía del autor sobre los problemas de frontera libre y en desplazamiento (M–FBP) para la ecuación de difusión del calor (H–DE), contiene unas 5900 referencias a trabajos provenientes de unas 884 diferente tipos de publicaciones. El objetivo enunciado es intentar proveer una amplia cobertura de la literatura físico-matemática-ingenieril existente en occidente en este campo. Se ha recolectado casi todo el material sobre el tema, publicado luego del primer trabajo histórico de Lamé–Clapeyron (1831). Las fuentes incluyen revistas científicas, proceedings de simposios o conferencias, informes técnicos y libros.