Théorème de Davenport-Cassels

Le théorème de Davenport-Cassels est un résultat sur les représentations rationnelles ou entières des formes quadratiques à coefficients entiers. Il est plus connu pour son corollaire en arithmétique concernant les entiers s'écrivant comme somme de deux carrés ou trois carrés.

Énoncé général

La démonstration peut se faire par descente infinie sur la taille du dénominateur commun des ${\displaystyle x_{i}}$.

Une variante plus répandue de cet énoncé se limite au cas où la forme quadratique est définie positive. Dans ce cas, le fait qu'elle soit définie permet de reformuler l'hypothèse plus simplement en : « Si, pour tout n-uplet x de rationnels, il existe un n-uplet a d'entiers tel que |q(x – a)| < 1 alors… » .

Somme de deux ou trois carrés

Le théorème de Davenport-Cassels a pour conséquence le théorème suivant :

D'après André Weil, Fermat, dans une lettre de Mersenne du 15 juillet 1636, affirme avoir prouvé ce résultat mais dans une autre lettre du 2 septembre de la même année, il reconnaît que sa preuve doit encore être travaillée. En 1912, une preuve de ce théorème est donnée par L. Aubry^,,. Le théorème de Davenport-Cassels, postérieur à cette publication permet aussi d'en donner une preuve.

En effet, le carré de la distance usuelle sur ℚ² ou ℚ³ est une forme quadratique vérifiant les conditions du théorème de Davenport-Cassels. Pour s'en convaincre, il suffit d'observer que, pour tout rationnel ${\displaystyle x_{i}}$, il existe un entier ${\displaystyle a_{i}}$ tel que ${\displaystyle |x_{i}-a_{i}|\leq 1/2}$. Ainsi, pour tout couple (resp. triplet) ${\displaystyle x}$ de rationnels, il existe un couple (resp. triplet) ${\displaystyle a}$ d'entiers tel que ${\displaystyle d^{2}(x,a)=\sum _{i=1}^{2}|x_{i}-a_{i}|^{2}\leq {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}<1}$ (resp. ${\displaystyle d^{2}(x,a)=\sum _{i=1}^{3}|x_{i}-a_{i}|^{2}\leq {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}<1}$).

Notes et références

Articles connexes

• Théorème des deux carrés de Fermat
• Théorème des 15

• Arithmétique et théorie des nombres

1. Liste de théorèmes
2. Méthode de descente infinie
3. Théorème des trois carrés
4. Forme quadratique
5. Théorème des deux carrés de Fermat
6. Deuxième théorème de Minkowski
7. Louis Mordell
8. Bryan Birch
9. Conjecture d'Oppenheim
10. Géométrie des nombres
11. Wolfgang Schmidt (mathématicien)
12. Helmut Hasse
13. Philip Hall
14. Somme de trois cubes